SCI Библиотека

Книга представляет собой современный курс математического анализа, написанный известным американским ученым. По стилю и содержанию она отличается от имеющихся традиционных курсов. Помимо обычно включаемого материала, книга содержит основы теории метрических пространств, теорию интегрирования дифференциальных форм на поверхностях, теорию интеграла и т. д.

В конце каждой главы приводятся удачно подобранные упражнения (общим числом около 200). Среди них есть как простые примеры, иллюстрирующие теорию, так и трудные задачи, существенно дополняющие основной текст книги.

Книга У. Рудина может служить учебным пособием для студентов математических и физических факультетов университетов, педагогических институтов и некоторых вузов. Она будет полезна студентам и преподавателям этих учебных заведений, а также инженерам, желающим расширить свои знания по математическому анализу.

В обозначениях и сокращениях мы старались быть возможно более последовательными и по крайней мере в пределах одного параграфа однотипные величины обозначали одинаковыми буквами. Отдельные обозначения, сохраняемые на протяжении одного-двух параграфов, вводятся специальными пояснениями. Независимо от этого значение каждой буквы объясняется заново в каждой задаче, если только нет ссылки на предыдущую задачу.

Если задача непосредственно примыкает к предшествующей, то она начинается пометкой «продолжение». Если она примыкает к одной из более ранних задач, то пометка сопровождается номером этой задачи, например «продолжение 286». В этих двух случаях обозначения заново не разъясняются. Отделы обозначаются римскими, главы (если это необходимо) — арабскими цифрами. Нумерация задач в каждом отделе новая.

Номера задач печатаются жирно. При ссылке на задачи указывается только ее номер, если задача принадлежит тому же отделу; если же задача принадлежит другому отделу, то указывается также номер отдела. Например, мы пишем IV 123, если та задача в отделе IV (задачи или решений); но мы пишем просто 123 на протяжении всего отдела IV.

В третьем томе монографии с помощью методов, приведенных в первых двух томах, исследованы асимптотические представления коэффициентов степенных рядов и рядов Фурье и функций, определяемых функциональными рядами.

Рассмотрены также другие методы построения асимптотических разложений интегралов, например применение интегральных преобразований и преобразований рядов, введение множителя сходимости, использование специальных соотношений и формул, в том числе формулы Парсеваля для преобразования Меллина. Даны также дополнения к материалу, изложенному в первых двух томах, причем большое внимание уделено асимптотическому разложению интегралов, содержащих функции с логарифмическими особенностями.

Во втором томе монографии для построения асимптотических разложений интегралов используются понятия критических точек и деформирования пути интегрирования в комплексной плоскости.

В частности, рассматриваются разные обобщения метода перевала. Большое внимание уделяется деформированию пути с учетом расположения особых точек подинтегральной функции. Исследуются интегралы обращения преобразований Лапласа и Меллина и их обобщения. Приведены исторические и библиографические сведения, а также обзор имеющейся литературы.

В первом томе монографии излагается общая теория асимптотических разложений и рассматривается асимптотическое разложение интегралов, зависящих от большого и малого параметров.

При разложении используются методы, основанные на интегрировании по частям и разложении подинтегральной функции в ряд. Материал содержит обзор имеющейся литературы, а также результаты оригинальных исследований. Приводятся исторические и библиографические сведения.

Книга посвящена точным решениям математических уравнений различных типов (алгебраических, тригонометрических, обыкновенных дифференциальных, с частными производными первого порядка, математической физики, интегральных, функциональных, дифференциальных с запаздыванием, функционально-дифференциальных и др.).

Особое внимание уделяется уравнениям, которые встречаются в различных областях естественных и инженерных наук (в теории тепло- и массопереноса, теории волн, гидродинамике, газовой динамике, теории горения, теории упругости, общей механике, теоретической физике, нелинейной оптике, биологии, химической технологии, экологии и др.) и уравнениям достаточно общего вида, которые зависят от свободных параметров или произвольных функций. Рассматриваются также уравнения, которые изучаются в университетах и технических вузах.

Точные решения уравнений играют важную роль стандартных “математических эталонов”, которые широко используются для оценки точности и разработок различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов.

Книга Г. Поля и Г. Сеге «Задачи и теоремы из анализа», впервые вышедшая на немецком языке в 1925 г. и в русском переводе в 1937—1938 гг., давно уже стала настольной книгой математиков, работающих или только желающих овладеть навыками научной работы в области теории функций.

Книга неоднократно переиздавалась и была переведена также на английский язык. В 1956 г. вышло второе русское издание. Для настоящего третьего издания перевод заново отредактирован и сверен с третьим немецким изданием.

Руководство для практических занятий по математическому анализу имеет целью оказать помощь заочникам в их самостоятельной работе, связанной с решением задач и примеров. Следует отметить, что на сессиях заочники имеют возможность прослушать лекционный курс, но не имеют достаточно часов для практических занятий, что в дальнейшем сильно затрудняет и затягивает самостоятельную работу. Предлагаемое руководство восполняет этот пробел.

В пособие включены, помимо задач вычислительного характера, упражнения, способствующие сознательному усвоению основных понятий и теорем курса.

Мы считаем, что для успешной проработки курса заочник обязан проделать все упражнения из каждого раздела.

К решению задач следует приступать только после того, как изучена соответствующая часть теоретического курса. Рекомендуется сначала внимательно разобрать примеры, приведённые в данном руководстве, и потом приступать к самостоятельному решению задач.

Заочники первого года обучения встречают большие затруднения при изучении первой части математического анализа. Во введении в анализ в большом количестве даются весьма важные основные понятия математического анализа. Успех изучения математического анализа на старших курсах в большой степени зависит от того, как усвоены студентом эти понятия.

На первом курсе у студента нет необходимых навыков самостоятельной работы, а потому изучение этой части курса часто сводится к заучиванию определений. В итоге студент знает формулировки, но не понимает их. Контрольная работа должна оказать помощь студенту в его самостоятельной работе. Изложенные варианты контрольных работ составлены так, что в них включены задачи, связанные с основными понятиями анализа.

В ряде задач предлагается студенту самостоятельно сконструировать примеры, связанные с определенными понятиями. Эта группа задач должна способствовать сознательному усвоению этих понятий.

Теория функций действительного переменного уже давно прочно вошла в программы математических факультетов университетов и педагогических институтов. Это и понятно, так как теория множеств и теория функций являются в настоящее время базой математического образования каждого грамотного математика. Однако освоение этой базы может быть достаточно успешным лишь в том случае, если изучение теоретического материала будет сопровождаться овладением методом этой науки, т.е. если изучающий теорию сможет применять излагаемые в этой теории методы к самостоятельному решению задач, к самостоятельному доказательству несложных теорем или конструированию примеров.

К сожалению, в существующей учебной литературе по теории функций еще мало имеется книг, которые имели бы достаточное количество материала для самостоятельных упражнений. Из отечественной и переводной литературы можно указать лишь несколько книг, которые содержат ряд интересных задач по теории множеств и теории функций, — это, учителей Н. И. Натансона «Теория функций и переменных», 1957 г., А. Н. Колмогорова «Введение в теорию функций действительного переменного», 1938 г., И. П. Макарова «Теория функций действительного переменного», 1962 г., Г. Е. Шилова «Математический анализ, специальный курс», 1962 г., а также Калмана Халмоша «Теория меры». Некоторые из указанных книг нашли влияние и в настоящей книге.