Многие важные задачи современной аналитической теории чисел могут быть сформулированы в терминах элементарной математики и понятия предела или даже просто понятия безгранично возрастающего параметра.
Таков, например, закон простых чисел, теорема И. М. Виноградова о том, что все достаточно большие нечетные числа — суммы трех простых чисел, и количество соответствующих представлений выражается простой предельной (асимптотической) формулой, теоремы о счете целых точек внутри расширяющихся контуров, о поведении дробных частей последовательностей и многие другие.
Вместе с тем решение соответствующих, формулируемых в простых терминах проблем часто требовало весьма сложных и на первый взгляд далеких от теории чисел средств.
Книга посвящена систематическому изложению важной главы нелинейного функционального анализа. В книге развиваются методы исследования уравнений, содержащих существенные нелинейности и, в частности, уравнений, которые могут иметь много решений.
Методы, развитые в книге, уже нашли разнообразные приложения в задачах теории волн, в задачах о формах потери устойчивости упругих систем, в задачах геометрии в целом, в теории периодических решений уравнений нелинейной механики, в теории нелинейных краевых задач и др.
Книга рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов и научных работников в различных областях математики, механики, связанных с необходимостью решать и исследовать нелинейные задачи.
Первый том фундаментальной монографии по теории линейных операторов (второй том — «Спектральная теория» — вышел в США в 1961 г.) Автор дает как исчерпывающий обзор общей теории линейных операторов (т. I), так и многочисленные её применения к различным вопросам анализа (т. II).
Первый том содержит подготовительный материал теоретико-множественные, топологические и алгебраические понятия, основные принципы линейного анализа, теорию интегрирования и функций множеств. Далее идут примеры специальных пространств, обзор слабых топологий, теория операторов и общая спектральная теория. Последняя глава первого тома посвящена некоторым приложениям (полугруппы и эргодическая теория). Том снабжен огромной библиографией, доведённой до последних лет.
Книга написана четким языком и снабжена многочисленными упражнениями, она может поэтому служить учебником по теории линейных операторов. Книга доступна студентам старших курсов математических факультетов университетов и педвузов; студенты, изучающие математический анализ, интегральные уравнения и функциональный анализ, после курса физики найдут в ней много интересного. В систематическом изложении авторов основным аппаратом современных исследований (квантовой механики и квантовой теории поля). Для специалистов книга послужит исчерпывающим справочником.
Широкие круги советских учёных впервые услышали имя выдающегося венгерского математика Габора Серё в 1925 г., когда вышла в свет замечательная книга Г. Поля и Г. Серё “Задачи и теоремы из анализа”; она была переведена на русский язык в 1937 г. и переиздана в 1956 г. Однако учёные, работающие в области теории функций и общей теории ортогональных многочленов, знали труды Г. Серё в этой области ещё с момента, когда они начали появляться в 1917 г.
Теория ортогональных многочленов неизменно привлекала и привлекает к себе внимание математиков и физиков всего мира — достаточно указать, что в библиографии по теории ортогональных многочленов Я. Шохата, Э. Хилле и Дж. Уолша 1, вышедшей в 1940 г., приведено около двух тысяч работ в этой области. Такой интерес к этим вопросам объясняется тем, что система ортогональных многочленов является простейшей — после тригонометрической системы — системой ортогональных функций и потому является весьма ценным аппаратом для приближённого представления функций более сложной природы. Во многих случаях разложение функции в ряд ортогональных многочленов возможно при меньших ограничениях, необходимых для её ряда разложения в ряд Маклорена.
Например, если функция регулярна на отрезке [-1, +1], то для сходимости её ряда Маклорена на всем отрезке она должна быть регулярна в круге |z| ≤ 1. Таким образом, разложение в ряд многочленов Лежандра может оказаться более предпочтительным, если только функция регулярна внутри любого малого эллипса с фокусами в точках ±1. Основы общей теории ортогональных многочленов были заложены П. Л. Чебышёвым в 1850–1859 гг., а стандартные системы ортогональных многочленов (Якоби, Лагерра и Эрмита) были детально проработаны ещё до Г. Серё. Однако работы Г. Серё значительно способствовали дальнейшему развитию этой теории и создали принципиально новый метод исследования.
В настоящей книге дается краткое, но достаточно строгое изложение теории основных специальных функций. Чтение книги требует знания курса высшей математики и элементов теории функций комплексного переменного в объеме вузовских программ.
Материал в книге расположен и изложен таким образом, что, в случае необходимости, некоторые параграфы могут быть опущены без ущерба для понимания остальных параграфов; в частности, это относится к параграфам, в которых применяется теория функций комплексного переменного.
Книга может быть использована студентами и аспирантами; а также — инженерами и научными работниками.
Книга представляет собой обширный систематический курс современной теории вероятностей, написанный на высоком теоретическом уровне. На базе теории меры автор изучает случайные события, случайные величины и их последовательности, функции распределения и характеристические функции, предельные теоремы теории вероятностей и случайные процессы.
Изложение сопровождается большим количеством задач разной степени трудности. Русское издание выпускается в переводе со второго английского издания, а также с учетом изменений, любезно присланных автором.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов-математиков, изучающих теорию вероятностей. Может быть полезна физикам-теоретикам, желающим совершенствовать свои знания по теории вероятностей.
Исследование большого круга естественно-научных и инженерных проблем приводит к математическим задачам, относящимся к решению дифференциальных уравнений и граничных проблем для них, интегральных и других функциональных уравнений.
Классические курсы, посвященные этим дисциплинам, содержат в основном теоретическое исследование соответствующих проблем, а также точные аналитические их решения для некоторых простейших случаев. В практике же постоянно встречаются задачи, для которых точное решение не может быть найдено или оно мало эффективно.
В первом томе книги рассмотрены действия с приближенными числами, теория интерполирования, численное дифференцирование и интегрирование, равномерные и среднеквадратичные приближения функций.
Книга предназначена в качестве учебного пособия для студентов механико-математических и физико-математических факультетов, специализирующихся по вычислительной математике, и лиц, интересующихся теорией и практикой численных методов.
Метод внешних форм, или теория систем в инволюции, составляет немаловажную часть общей теории интегрирования систем дифференциальных уравнений; в проблеме совместности и степени произвола общего решения метод Картана занимает первое место.
«Только в результате ряда поисков условий интегрируемости уравнений в частных производных,— пишет Картан,— я пришел к моей теории структуры непрерывных групп»; и далее: «Я хотел создать теорию, куда входили бы понятия и операции, независимые от всякой замены переменных, как зависимых, так и независимых; для этого было необходимо заменить частные производные дифференциалами, которые имеют внутреннее значение.
Я систематически изучал систему уравнений в частных производных в виде уравнений в полных дифференциалах, т. е. в виде систем Иффа. Возникшая отсюда теория систем в инволюции позволила мне развернуть мои работы по теории бесконечных групп преобразований. Старые проблемы, например задача Софуса Ли интегрирования дифференциальных систем, допускающих инфинитезимальные преобразования, привели меня к новой точке зрения на механику и природные законы».
И, наконец, добавляет: «Новая концепция позволила мне строго исследовать совместную гравитацию и электромагнетизм. Я добавил совместную гравитацию уравнений Эйнштейна, построенных на базе его единой теории поля».
Книга содержит изложение основ теории аналитических функций многих комплексных переменных. В ней также рассматриваются: комплексные пространства, интегральные представления функций многих комплексных переменных, мероморфные и голоморфные функции, заданные во всем пространстве.
Книга может служить пособием для лиц, желающих познакомиться с началами теории и получить возможность читать относящуюся к ней текущую журнальную литературу.
Книга предназначена для математиков, работающих в области теории функций, аспирантов и студентов старших курсов университетов и педагогических институтов, изучающих теорию функций. Она может быть полезна математикам других специальностей и физикам-теоретикам, использующим в своей работе методы теории функций комплексных переменных.
