Книга: Ортогональные многочлены

Широкие круги советских учёных впервые услышали имя выдающегося венгерского математика Габора Серё в 1925 г., когда вышла в свет замечательная книга Г. Поля и Г. Серё “Задачи и теоремы из анализа”; она была переведена на русский язык в 1937 г. и переиздана в 1956 г. Однако учёные, работающие в области теории функций и общей теории ортогональных многочленов, знали труды Г. Серё в этой области ещё с момента, когда они начали появляться в 1917 г.

Теория ортогональных многочленов неизменно привлекала и привлекает к себе внимание математиков и физиков всего мира — достаточно указать, что в библиографии по теории ортогональных многочленов Я. Шохата, Э. Хилле и Дж. Уолша 1, вышедшей в 1940 г., приведено около двух тысяч работ в этой области. Такой интерес к этим вопросам объясняется тем, что система ортогональных многочленов является простейшей — после тригонометрической системы — системой ортогональных функций и потому является весьма ценным аппаратом для приближённого представления функций более сложной природы. Во многих случаях разложение функции в ряд ортогональных многочленов возможно при меньших ограничениях, необходимых для её ряда разложения в ряд Маклорена.

Например, если функция регулярна на отрезке [-1, +1], то для сходимости её ряда Маклорена на всем отрезке она должна быть регулярна в круге |z| ≤ 1. Таким образом, разложение в ряд многочленов Лежандра может оказаться более предпочтительным, если только функция регулярна внутри любого малого эллипса с фокусами в точках ±1. Основы общей теории ортогональных многочленов были заложены П. Л. Чебышёвым в 1850–1859 гг., а стандартные системы ортогональных многочленов (Якоби, Лагерра и Эрмита) были детально проработаны ещё до Г. Серё. Однако работы Г. Серё значительно способствовали дальнейшему развитию этой теории и создали принципиально новый метод исследования.