Эта книга является попыткой единообразно рассмотреть синусы (круговой, гиперболический, лемнискатический и синус Якоби) как частные случаи так называемого обобщённого синуса — функции, обратной по отношению к некоторому интегралу.
Она требует определённой математической культуры и рассчитана на достаточно подготовленных читателей, владеющих математическим анализом в объёме вузовского курса математики.
Эта книга посвящена теории часто встречающихся в приложениях специальных функций — гипергеометрической, вырожденной гипергеометрической, сферических и цилиндрических функций. При сравнительно небольшом объеме она содержит очень богатый материал, охватывая почти все формулы, необходимые для практической работы с этими функциями. Изучение всех указанных функций ведется в комплексной области с использованием аналитической теории дифференциальных уравнений.
Книга будет полезна всем, встречающимся в практической деятельности со специальными функциями: физикам, инженерам, специалистам по прикладной математике. Она интересна также студентам и аспирантам университетов и технических вузов с повышенным курсом математики.
Книга Кузьмина Р. О., профессора Ленинградского гидротехнического института, является первой на русском языке, по Бесселевым функциям. Материал книги разбит на три главы. В первой главе автор дает в сжатом виде изложение теории Эйлерова интеграла второго рода (Гамма-функция) и его связь с интегралом первого рода (Бета-функция), останавливаясь более подробно на выводе тех результатов, которые являются наиболее важными.
Вторая и третья главы посвящены собственно Бесселевым функциям и их приложениям. В них автор дает: решения (интегралы) дифференциального уравнения Бесселя, различные виды этих решений (глава вторая) и показывает, каким образом сам Бессель пришел к уравнению, которое носит теперь его имя (глава третья). В конце книги помещены таблицы Бесселевых функций, являющиеся не только наиболее полными в русской литературе, но некоторые из них появляются вообще впервые.
Книгу можно рекомендовать студентам старших курсов физматфакультетов, аспирантам и инженерам.
Книга рассчитана на лиц, интересующихся функциями Бесселя с точки зрения их приложений. В первой части книги излагаются основы теории бесселевых функций. Здесь рассматриваются свойства бесселевых функций: представления функций в виде степенных рядов, интегральные представления, асимптотические разложения, функциональные уравнения типа вронскианов, формулы сложения и др.
Наряду с этим подробно рассматриваются дифференциальные уравнения второго и четвертого порядка, приводные к уравнениям Бесселя, а также неоднородные уравнения Бесселя; излагаются основные сведения о функциях, родственных функциям Бесселя, и о функциях Ломмеля двух переменных. Сравнительно полно рассматриваются несобственные интегралы, ряды Фурье — Бесселя и ряды Шлеммильха Приводятся решение парных интегральных уравнений, основанные на использовании аппарата теории бесселевых функций.
Вторая часть книги, основанная главным образом на работах автора, посвящена приложениям бесселевых функций, она содержит решения задач, связанных с кручением, а также, к теории упругости и колебаниям упругих систем. Книга написана простым языком и ее основная часть вполне доступна лицам, имеющим образование в объеме втуза.
В книге с единой точки зрения изложены основные результаты работ последних лет по теории и применениям сфероидальных и родственных им кулоновских сфероидальных функций. Кулоновские сфероидальные функции как класс специальных функций последовательно определены и рассмотрены впервые.
В книге представлены аналитические свойства сфероидальных и кулоновских сфероидальных функций, их асимптотические разложения и алгоритмы вычисления на ЭВМ. Рассмотрены приложения этих функций в квантовой механике, теории дифракции и оптике.
Книга носит справочный характер. Она предназначена для физиков и специалистов по прикладной математике, радиотехнике и квантовой химии.
В настоящей книге дается краткое, но достаточно строгое изложение теории основных специальных функций. Чтение книги требует знания курса высшей математики и элементов теории функций комплексного переменного в объеме вузовских программ.
Материал в книге расположен и изложен таким образом, что, в случае необходимости, некоторые параграфы могут быть опущены без ущерба для понимания остальных параграфов; в частности, это относится к параграфам, в которых применяется теория функций комплексного переменного.
Книга может быть использована студентами и аспирантами; а также — инженерами и научными работниками.
Современная теория эллиптических функций создалась в результате совместной работы выдающихся математиков XIX в. Систематическое исследование эллиптических интегралов было начато Лежандром еще в конце XVIII в. Полученные результаты были им объединены в замечательной работе “Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes”. Здесь мы находим как полную теорию эллиптических интегралов, так и практические методы их вычисления. Здесь же содержатся и таблицы интегралов 1-го и 2-го рода, которые являются основными для вычислений и в настоящее время.
Работы Лежандра послужили отправным пунктом исследований Абеля и Якоби (Abel, Jacobi). Их идея рассматривать вместо эллиптического интеграла обратную функцию привела к открытию эллиптических функций и их двойной периодичности. Абель рассматривает область эллиптических интегралов и задачу их обращения как частный случай аналитической задачи для любой алгебраической функции.
Курс лекций посвящен знакомству со специфическим разделом математики – специальными функциями. Под специальной функцией можно понимать любую функцию, не входящую в число элементарных функций, изучаемых в школьном курсе алгебры и анализа. Конечно это определение неконструктивно. Отбор материала для предлагаемого курса лекций связан с моими научными интересами в области линейных дифференциальных уравнений. Метод исследования свойств специальных функций основан на анализе соответствующих решений дифференциальных уравнений.
Этот спецкурс читался пятикурсникам Уфимского Авиационного Технического Университета, специализирующимся по прикладной математике, в осеннем семестре 1999-2000 учебного года, а также студентам-математикам 3-го и 4-го курсов Башкирского Государственного Университета, специализирующимся по дифференциальным уравнениям, в весеннем семестре того же учебного года. Хочу выразить благодарность всем моим слушателям за проявленный интерес и внимание.
Решение очень многих важных задач математической физики и техники не может быть выражено с помощью обычных, элементарных функций, и тогда приходят на помощь специальные функции (функции Лежандра, функции Бесселя, гипергеометрическая функция и т. д.). Теория специальных функций очень детально разработана и включает в себя необозримо множество формул и соотношений, выводимых самыми разнообразными методами, что затрудняет ее изучение.
Целью данной книги является изложение теории специальных функций с единой точки зрения при помощи теории представлений групп. Этот подход позволяет единым образом получать всевозможные соотношения между специальными функциями, как ранее известные, так и новые.
Книга предназначена для математиков, физиков (как теоретиков, так и экспериментаторов), научных работников в области техники, а также может быть использована аспирантами и студентами старших курсов университетов.
Эта книга является кратким справочником по теории специальных функций, чаще всего встречающихся при решении задач математической физики — гипергеометрической функции, функций и многочленов Лежандра, различных ортогональных многочленов (Чебышева, Лагерра, Эрмита), цилиндрических функций и функций Матэ. Кроме того, она содержит изложение общих понятий теории ортогональных функций. Так как теория специальных функций необъятна, то главной трудностью при написании была, несомненно, отбор приводимых в ней формул. Нам кажется, что авторы удачно справились с этой задачей, отобрав формулы, чаще всего встречающиеся при решении конкретных задач.
При сравнительно небольшом объеме книга содержит почти все необходимое для инженера или физика по специальным функциям. Если читателю потребуются более полные сведения о специальных функциях, то рекомендуем обратиться к книгам: И. С. Градштейн и И. М. Рыжик, “Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений”, изд. 4, Физматгиз, 1962, или к трехтомному изданию “Higher Transcendental Functions”, под ред. MC Grad Hille.
При переводе книги были проверены формулы и исправлены (к сожалению, многочисленные) ошибки оригинала. Кроме того, существенно пополнены библиография и список таблиц специальных функций.
