Книга посвящена линейным и нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям в частных производных с постоянным и переменным запаздыванием. Рассмотрены качественные особенности дифференциальных уравнений с запаздыванием и сформулированы типичные постановки задач.
Описаны точные, приближенные аналитические и численные методы решения таких уравнений, включая метод шагов, методы интегральных преобразований, метод регулярного разложения по малому параметру, метод сращиваемых асимптотических разложений, методы итерационного типа, метод разложений Адомяна, метод коллокаций, проекционные методы типа Галеркина, методы Эйлера и Рунге—Кутты, метод стрельбы, метод прямых, конечно-разностные методы для УРЧП, методы обобщенного и функционального разделения переменных, метод функциональных связей, метод порождающих уравнений и др.
Изложение теоретического материала сопровождается примерами практического применения методов для получения искомых решений.
Исследовано влияние на скорость затухания малых отклонений заболеваемости для системы «паразит-хозяин» с наличием групп, отличающихся по длительности сохранения иммунитета. Получено, что при значениях R0, соответствующих COVID-19, решение имеет вид скручивающейся спирали с длиной периода порядка года. Скорость сходимости к стационарному решению высокая, за год амплитуда колебаний уменьшается (в зависимости от варианта выбора параметров) в диапазоне от нескольких до 10 раз. Это означает, что в постоянных условиях и при отсутствии новых мутаций заболеваемость стабилизируется за несколько лет.
Излагаются подходы к математическому моделированию механизмов, лежащих в основе широко используемых в медицине и биологии методов корреляционной адаптометрии. Приводятся примеры использования одного из таких методов к оценке эффективности лечения больных ожирением и заместительной гормональной терапии. Показана эффективность применения данной методики для всех используемых примеров.
Исследована математическая модель динамики системы «паразит-хозяин», в которой длительность сохранения иммунитета не фиксирована, а распределена и зависит от особенностей конкретного организма хозяина. Получено, что при контактном числе, большем единицы, существует единственное нетривиальное стационарное решение, являющееся глобальным аттрактором. Применительно в пандемии COVID-19 это означает, что если не будет возникать новых вариантов возбудителя, то при постоянных условиях заболеваемость стабилизируется.
В представленной работе исследуется метод численного расчета несобственных интегралов 1-го и 2-го рода для широкого класса непрерывных монотонных функций от одной переменной. Несобственный интеграл с помощью замены переменной сводится к собственному и вычисляется адаптивным алгоритмом на основе квадратурных формул Гаусса. Метод прост в реализации и требует минимум аналитических исследований. При этом погрешность результата сопоставима с погрешностью вычисления подынтегральной функции. В последнем разделе рассмотрен частный случай несобственного интеграла от немонотонной подынтегральной функции.
Исследованы свойства глобальной сходимости метода тяжелого шарика для минимизации дифференцируемой функции с градиентом, удовлетворяющим условию Липшица. Исследована устойчивость метода к неточно известной производной целевой функции. Определены области значений параметров метода, гарантирующих его сходимость и устойчивость.
В статье обсуждается малоизученная проблема сущностной (биологической и статистической) интерпретируемости поведения класса вычислительных моделей, которые широко применяются в практике природопользования. При прогнозировании динамики биоресурсов с учетом регулирующего воздействия итерационные модели генерируют нелинейные режимы поведения, например, в случае известного сценария Фейгенбаума. Возникают сложные эффекты, которые связаны между собой, как в каскадах появления циклов периода p=2i+1, i→∞ или каскада циклов p=2i–1, i→0. Эти эффекты определяются выполнением условий теорем Сингера и Шарковского, и они не имеют объяснений в экологической реальности. Для описания биосистемных процессов с воздействием более адекватны модели с возникновением альтернативных аттракторов, чем с реализацией каскадов бифуркаций циклов, странных «канторовских» аттракторов и режимов хаоса по Ли-Йорку – как континуума неустойчивых траекторий
Мы хорошо знаем, что социальная среда подвергается сильнейшим внешним и внутренним воздействиям, как силовым, энергетическим, так и информационным, описание которых можно найти в социологической, исторической, экономической, художественной литературе, а также в литературе по психологии. Однако до тех пор, пока специалисты, работающие в этих областях, не снизойдут до формализованного описания этих воздействий и сложнейших социальных процессов, связанных с ними, мы не сможем получить главного – предсказательной ценности социологических наук, т. е. наук об устойчивом развитии общества. Возможно ли формализация таких воздействий? Ответ напрашивается сам собой: если существует воздействие, которое способно изменить свойства или состояние материального объекта (в нашем случае - социальную среду), то возможна и его оценка, по крайней мере, на уровне имитационных моделей.
Рассмотрены основные проблемы, связанные с оперативным выявлением очагов лесных пожаров и сопровождающих их задымлений на основе применения автономных беспилотных летательных аппаратов. Разработан метод поиска лесных пожаров по локально-оптимальному маршруту полета в условиях неопределенности. Сформулирован ряд оригинальных положений математического аппарата нечетких множеств, позволяющих сформировать для автономного беспилотного летательного аппарата эффективную информационно-аналитическую модель ситуационно-командного управления движением по строящемуся в реальном времени маршруту полета. Создана модель представления и обработки знаний, обеспечивающая на ее основе возможность автоматического синтеза логико-трансформационных правил вывода ситуационно-командного управления движением летательного аппарата. Показано, что предложенный принцип построения информационно-аналитической модели позволяет снизить сложность решения задачи выбора эффективных команд за счет существенного сокращения количества сравнений текущей проблемной ситуации на объекте с эталонными проблемными ситуациями в процессе вывода решений.
Современные роботы позволяют решать широкий спектр задач при совместной деятельности с человеком. При этом робот может получать команды от человека через различные системы управления, а также с помощью естественного языка. Выражения на естественном языке обладают значительной многозначностью (омонимией). В статье показано, какими методами обрабатываются высказывания и решается возникающая омонимия при речевом управлении роботом в естественной или виртуальной среде.