Въ предисловіи автора къ первому изданію съ достаточной полнотой изложены планъ и содержаніе второго тома настоящаго сочиненія. Мы ограничимся, съ своей стороны, только слѣдующими замѣчаніями. Вопросы, относящіеся къ основаніямъ геометріи, въ настоящее время еще усиленно разрабатываются; но не только относительно тѣхъ проблемъ, которые лежатъ на рубежѣ между математикой и философіей, еще не достигнуто соглашенія, не выработано болѣе или менѣе общей точки зрѣнія, но и возникающія здѣсь задачи чисто математическаго характера вызываютъ еще немало спорвъ.
Съ этой, именно, точки зрѣнія мы можемъ рекомендовать ччитателю относиться къ излагаемымъ въ настоящей книгѣ разсужденіямъ. Во многихъ своихъ частяхъ это — не установившыяся прочно истины, это — взгляды, которые можно раздѣлять въ большей или менѣйшей степени. Съ нѣкоторыми взглядами автора мы, напримѣръ, рѣшительно не можемъ согласиться; такъ мы не можемъ усвоить точки зрѣнія автора на “натуральную геометрію”.
Но авторъ тонко изучилъ обширную литературу, относящуюся къ основаніямъ геометріи. Въ тѣхъ случаяхъ, когда по тому или иному вопросу мнѣнія особенно расходятся, онъ съ достаточной обѣктивностью излагаетъ различныя точки зрѣнія. Во всякомъ случайѣ это наиболее полное изложеніе предмета въ элементарной литературѣ. Если, однако, читатель не всегда вынесетъ полное убѣжденіе, то это должно быть отнесено, главнымъ образомъ, къ трудности самого предмета.
В планиметрии мы узнали, что между сторонами и углами треугольника имеется известная зависимость.
Теоремы о конгруэнтности треугольников обнаруживают, что треугольник вполне определён по форме и по величине, если в нём даны либо три стороны, либо две стороны и угол, между ними заключённый, либо сторона и два прилежащих угла.
Если даны две стороны и угол, противолежащий одной из них, то треугольник этими данными тоже определяется, если не однозначно, то, и не более, чем двузначно.
Для чтения и понимания этой книги не требуется никаких специальных знаний, выходящих за рамки школьной программы восьмого класса. И даже более того: многое известное школьникам здесь объясняется еще раз (например, понятие абсолютной величины числа, простейшие примеры решения неравенств и др.).
Однако следует иметь в виду, что книга написана не для легкого чтения, а для серьезного систематического изучения, и поэтому, чтобы понять ее, нужно терпеливо работать над текстом и, главное, над упражнениями, которых в книге много.
Все задачи, которые даны непосредственно в тексте (они не имеют номеров), должны быть разобраны, так как их результаты будут использоваться в дальнейшем изложении. Большую роль играют также рисунки. Некоторые из них содержат необходимые пояснения текста, примеры, ответы к упражнениям и т. д.
Книжка предназначается для учащихся старших классов средней школы, заинтересовавшихся геометрическими построениями, которые снова стали появляться, хотя очень медленно и в весьма ограниченном объеме, в школьном курсе элементарной геометрии. Решение задач на построение развивает геометрическое мышление гораздо полнее и острее, чем решение задач на вычисление, и способно вызвать увлечение работой, которое приводит к усилению любознательности и к желанию расширить и углубить изучение геометрии.
Усвоив основные задачи на построение и использование циркуля и линейки для выполнения чертежа, узнав, что некоторые задачи не могут быть решены с помощью циркуля и линейки, учащийся естественно заинтересуется вопросом, почему одну задачу можно решить с помощью линейки и циркуля, а другую — нельзя. Зная, что деление окружности на шесть одинаковых частей не требует применения линейки, учащийся может задуматься, нельзя ли решать некоторые задачи с помощью только циркуля, как именно и как. На эти вопросы и отвечает предлагаемая книжка, главное содержание которой есть геометрия циркуля.
Брошюра посвящена вычислению площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции и других многоугольников. Рассмотрены решения 20 задач, сгруппированных вокруг следующих вопросов:
— равновеликость и равносоставленность многоугольников;
— медиана делит треугольник на два треугольника равной площади;
— разрезание треугольника и выпуклого четырёхугольника на две равновеликие части.
Приведены 16 задач (с ответами и указаниями) для самостоятельного решения.
Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции, прочитанной автором для школьников 8–11 классов 21 октября 2000 года на Малом мехмате. Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников, учителей…
ГЕОМЕТРIЯ есть слово Греческое, на русскомъ же языкѣ, есть оное землемѣрiе и художеcтво, поля измѣрящи. И имѣеть между искусствамъ математическiми Первенство.
И безъ оныя способа могутъ [ хотяже и истинны суть однакожь ] труднѡстью освѣдомѣтельствоватися.
Главные действующие лица этой книжки — различные геометрические фигуры, или, как они здесь чаще называются, «множества точек». Вначале появляются самые простые фигуры в различных сочетаниях.
Они двигаются, обнаруживают новые свойства, пересекаются, объединяются, образуют целые семейства и меняют свое обличье — иногда до неузнаваемости; впрочем, интересно увидеть старых знакомых в сложной обстановке, в окружении новых фигур, появляющихся в финале.
Эта книга содержит полтораста задач по геометрии на плоскости. В основном, это задачи довольно трудные, хотя для их решения, как правило, достаточно знаний 8—9 классов, а во многих случаях и 7 класса. Книга разбита на три части. Первые сто задач составляют содержание первой части, а их решения приведены во второй части книги.
Для удобства читателей эти задачи разбиты на 11 разделов, а каждая задача снабжена двойным номером и названием: например, задача «Шмель и соты» является девятой в восьмом разделе «Задачи на клетчатой бумаге» и имеет номер 8.9. Тематика многих задач, особенно в последних пяти разделах, нетрадиционна: здесь затрагиваются вопросы, близкие к “современным” разделам геометрии (комбинаторная геометрия, топология, задачи на максимум и минимум, оценки и неравенства, задачи на выпуклые фигуры).
Une ligne du second ordre est la section faite par un plan dans une surface conique à base circulaire; de là vient que ces lignes prennent ordinairement le nom de sections coniques, ou simplement de coniques.
La droite que déterminent les deux points de contact de deux tangentes quelconques d’une conique, est appelée, par abréviation, corde de contact. Le pôle d’une droite, tracée à volonté dans le plan d’une conique, est le point fixe autour duquel tournent toutes les cordes de contact des paires de tangentes issues des différents points de la droite.
— Cette droite, elle-même, est dite la polaire du point fixe. — On sait construire la polaire lorsque le pôle est connu, et le pôle lorsque la polaire est connue, en n’employant que la règle seulement.
Книга предназначена для учителей средних школ, методистов, преподавателей, ведущих внеклассные занятия со школьниками. В ней расписан цикл занятий для учеников разного возраста (первые — для 3-4, последние — для 10-11 классов), посвящённых изучению узлов. Этот объект, с одной стороны, широко распространён и используется и в повседневной жизни, и в профессиональной деятельности, а с другой — является предметом изучения в одном из активно развивающихся современных направлений в математике.
Детальная проработка каждого занятия позволяет, с одной стороны, начать изучение узлов со своими учениками учителю без какой бы то ни было дополнительной подготовки, а с другой — преподавателю, всерьёз заинтересовавшемуся узлами как средством развития пространственного воображения школьников, почувствовать основные принципы конструирования этих занятий и, основываясь на этой методологии, делать уже свои собственные разработки.
