SCI Библиотека

Данный сборник задач предназначается учителям и учащимся школ (классов) физико-математического направления. В нем предоставлены задачи по курсу планиметрии VII–IX классов, относящиеся к геометрии треугольника.

В сборнике приводятся как классические задачи, так и задачи, составленные в последнее время, при этом предпочтение отдавалось теоремам и задачам на доказательство, результаты которых часто используются при решении других задач. При составлении сборника использовались журналы “Квант” и “Математика в школе” за последние годы, а также задачники и пособия, приведенные в списке литературы в конце сборника, часть задач составлена авторами.

При ссылках на задачи сборника принята двойная нумерация, где первая цифра обозначает номер параграфа, а вторая — номер задачи в этом параграфе (например, 4. II — задача II § 4). Если ссылка дается на задачу этого же параграфа, то этот номер опускается. Некоторые задачи приведены в разных параграфах, к ним даны различные решения.

В геометрии известна замечательная теорема венгерского математика Фаркаша Больяи: если два многоугольника равновелики (т. е. имеют равные площади), то всегда возможно один из них расселить на конечное число таких многоугольников, из которых может быть составлен второй*).

Это значит, что если взять, например, квадрат, то без всякой потери площади его можно превратить в правильный пятиугольник или правильный шестиугольник, в один или несколько равносторонних треугольников и т. д. Такое перекраивание квадрата в другую фигуру может быть осуществлено не единственным способом, но потребуется проявить большую находчивость и изобретательность, чтобы найти хотя бы один подходящий способ.

Брошюра посвящена описанию и исследованию геометрических построений с помощью одного лишь циркуля; написана она на основе лекций, которые автор в течение ряда лет читал для школьников, принимавших участие в математических олимпиадах в г. Львове.

Книжка представляет интерес для преподавателей математики и учащихся старших классов средней школы.

Когда Феликс Клейн задумал опубликовать важнейшие из своих автографированных лекций, он решил начать с неевклидовой геометрии и с помощью молодого геометра д-ра Роземаа предварительно подвергнуть старый текст основательной переработке в делом и в деталях. Эта работа оказалась много продолжительней, чем ожидалось сначала. Самому Клейну уже не довелось дожить до ее окончания.

Правда, он в ежедневных, более года продолжавшихся совещаниях со своим молодым сотрудником продумал, пересмотрел и привел в порядок материал вплоть до мельчайших подробностей; но самую разработку текста он должен был предоставить д-ру Роземану. К моменту смерти Клейна первые главы книги были уже в гранках; все же потребовался многолетний и самоотверженный труд со стороны д-ра Роземана для того, чтобы на основе первоначальной программы подготовить к печати рукопись и провести ее через печать.

Поэтому к изданию книги участие и заслуга, а также и ответственность д-ра Роземана должны оцениваться выше, чем это обычно делается по отношению к сотрудникам.

Теоретико-групповое построение геометрии Клейна, как он его впервые набросал в 1872 г. в своей “Эрлангенской программе” и затем подробнее разработал в 1893 г. в своем “Введении в высшую геометрию”, является в настоящее время столь же важным и жизненным, как и тогда для дальнейшего развития геометрии, а так же и физики.

Поэтому, быть может, многие будут приветствовать новое издание этих лекций. Чтобы не нарушить личного стиля работы Клейна, я внес очень мало изменений и добавлений в прежнее издание “первого тома”. Напротив, мне пришлось целиком выпустить лишь едва связанный с ним “второй том”, который содержал введение в теорию непрерывных и дискретных групп и который потребовал бы полной переработки.

Его место заняла “третья часть” настоящей книги, в которой помещены некоторые новейшие геометрические исследования. При этом мне оказали любезное содействие некоторые геометры: именно II и IV отделы разработал Радон (Эрланген), III — в существенном Артин и V — Шрейер (Гамбург).

Главнейшія особенности предлагаемаго руководства геометріи состоять въ слѣдующемъ.

1. Въ большинствѣ нашихъ учебниковъ геометріи понятіе о длинѣ окружности и вообще о кривой линіи принимается за элементарное, не требующее никакихъ оговорокъ и разъясненій, и выводъ, что длина окружности есть предѣлъ периметровъ правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ многоугольниковъ, основывается на скрытомъ допущеніи или на не строго доказываемой теоремѣ, что объемущая линія длиннѣе объемлемой.

Въ предлагаемаго руководствѣ, въ согласіи со многими авторитетами учебно-математической литературы, проведено воззрѣніе, согласно которому, что понятіе о длинѣ элементарно только въ примѣненіи къ прямымъ; но какъ тѣлько рѣчь идетъ о сравненіи кривой линіи с прямолинейной или окружностью, тогда (вслѣдствіе невозможности элемента кривой быть элементарнымъ прямымъ) понятіе о длинѣ становится сложнымъ и требуетъ опредѣленія *).

Книга выдающегося немецкого математика Феликса Клейна занимает особое место в популярной литературе по математике. Она в доходчивой и увлекательной форме рассказывает о тонких математических понятиях, о методике преподавания математики в школе (средней и высшей), об интересных фактах из истории науки, о собственных взглядах автора на математику и ее роль в прикладных вопросах.

Второй том посвящен вопросам геометрии — той науки, в развитии которой Ф. Клейн внес особенно заметный вклад. Автор мастерски, в изящной популярной форме, знакомит читателя с вопросами дифференциальной геометрии, невклидовыми геометриями и другими вопросами. 1-е изд. — 1934 г.

Для студентов-математиков, преподавателей, научных работников и просто любителей математики.

Книга состоит из четырех небольших произведений знаменитого немецкого астронома и математика: «О шестиугольных снежинках», «Разговор с звездным вестником», «Сон» и отрывок из гороскопа «О себе».

Эти произведения Кеплера являются признанными образцами научно-художественной прозы. На русском языке публикуются впервые.

Почти шестидесятилетняя жизнь Кеплера протекала в эпоху, когда на смену схоластической науке, находившейся в полном подчинении богословию и теологической философии, возникало и пускало корни научное мировоззрение нового времени, основанное на наблюдении явлений природы, эксперименте и математической обработке полученных отсюда данных.

При доказательстве основной теоремы о равновеликости двух пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты, геометрия исконно прибегает к методу пределов, рассматривая пирамиды, как пределы вписанных и описанных призм. Помимо дидактических трудностей (учащиеся не даром назвали эту фигуру чертовой лестницей), появление здесь метода пределов сначала представляется странным по существу.

Когда мы доказываем равновеликость прямолинейных фигур в планиметрии, мы не только не прибегаем к пределам, но, наоборот, пользуемся наиболее элементарным средствам. Именно, для этой цели применяются два приема, из которых один в немецкой литературе принято называть методом разложения (Zerlegungasmethode), а другой — методом дополнения (Ergänzungsmethode).