Рассматривается задача Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплоёмкости и коэффициентом теплопроводности, пропорциональным температуре. Исходное дифференциальное уравнение с начальными данными приводится к некоторому интегродифференциальному уравнению для образа Фурье искомого решения с начальными данными на положительной полуоси. Интегрирование в полученном уравнении для Фурье-образа решения исходной дифференциальной задачи производится по первому квадранту плоскости независимых переменных. Билинейный интегральный оператор в полученном интегродифференциальном уравнении имеет в качестве ядра функцию от времени и двух неотрицательных переменных интегрирования. Ядро явным образом выражено через переменный коэффициент теплоёмкости исходного дифференциального уравнения.